Burnside引理和Polya定理相关题集

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LCS HDU-5495

题意

给两个序列：({a_1,a_2,cdots,a_n})，({b_1,b_2,cdots,b_n}) ，都是 ({1,2,3,cdots,n }) 的一个排列。求出一个序列 (p) ，使得 (a_{p_1},a_{p_2},cdots,a_{p_n}) 和 (b_{p_1},b_{p_2},cdots,b_{p_n}) 的 ( ext{LCS}) 最大。输出该 ( ext{LCS}) 的值。

分析

对 (a_i->b_i) 建边，最终总能形成一个环，对于这个长度为 (L) 的环，我们总能找到一个长度为 (L-1) 的 ( ext{LCS})。所以，我们只要用序列的长度减去长度大于 (1) 的环的个数就是最终的结果。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N=1e5+5;
int a[N],nxt[N];
bool vis[N];
int main()
{
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int ans=0,b;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            vis[i]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&b);
            nxt[a[i]]=b;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(!vis[a[i]])
            {
                int x=a[i],cnt=0;
                while(!vis[x])
                {
                    vis[x]=1;
                    x=nxt[x];
                    cnt++;
                }
                ans+=cnt;//cout<<"cnt="<<cnt<<endl;
                if(cnt>1) ans--;
            }
        }
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}

Count the Tetris HDU-1812

Let it Bead POJ-2409

题意

给出 (c) 种颜色的珍珠，每种的数量无限，组成长为 (s) 的项链。问可以组成多少种不同的项链。(csleq 32)

分析

Polya定理模板题，直接套公式。设 ({a_1,a_2,cdots,a_{|G|} }) 是 ({1,2,cdots,n}) 上的置换群，现用 (m) 种颜色对这 (n) 个点染色，则不同的染色方案有：

[ANS=frac{(m^{c_1}+m^{c_2}+cdots+m^{c_{|G|}})}{|G|} ]

其中，(c_k) 为置换 (a_k) 中轮换的个数，即循环节的个数。

常见置换的轮换个数：

• 旋转：(n) 个点顺时针旋转 (i) 个位置的置换，轮换的个数为：(gcd(i,n))；
• 翻转：(n) 为偶数且对称轴不过顶点：(frac{n}{2})，(n) 为偶数且对称轴过顶点：(frac{n}{2}+1)，(n) 为奇数：(frac{n+1}{2})；

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;
int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
ll power(ll a,int b)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=res*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int c,s;
    while(scanf("%d%d",&c,&s)!=EOF)
    {
        if(c==0&&s==0) break;
        if(c==0||s==0) printf("0
");
        ll ans=0;
        int m=2*s;
        for(int i=1;i<=s;i++)
            ans+=power(1LL*c,gcd(i,s));
        if(s&1)
            ans+=1LL*s*power(1LL*c,(s+1)/2);
        else
        {
            ans+=1LL*s/2*power(1LL*c,s/2);
            ans+=1LL*s/2*power(1LL*c,s/2+1);
        }
        printf("%lld
",ans/m);
    }
    return 0;
}

Necklace of Beads POJ-1286

分析

模板题，同上。

Color POJ-2154