[基本操作]快速沃尔什变换

还是补全一下科技树吧...之后可能就专心刷刷题？

虽然感觉我的科技树连开始的一层都没点全。。。

FWT 可以用来解决多项式的位运算卷积，也就是对于两个多项式 $A,B$ ，求一个 $C$ 满足 $C_k = sumlimits_{i=1}^nsumlimits_{j=1}^n[ioplus j == k]A_i imes B_j$

常见的有 $and,or,xor$ 卷积

式子就不推了，放个结论吧

令 $A$ 为一个 $2^n$ 维向量

设 $A_0$ 为 $A$ 的前 $2^{n-1}$ 维组成的向量， $A_1$ 为 $A$ 的后 $2^{n-1}$ 维组成的向量

则

对于 or 卷积：

$$FWT(A)=
egin{cases}
(FWT(A_0),FWT(A_0) + FWT(A_1))& ext{n>0}\
A& ext{n=0}
end{cases}$$

顺便，or 的 FWT 相当于对于每个非空集合求了子集和

对于 and 卷积：

$$FWT(A)=
egin{cases}
(FWT(A_0) + FWT(A_1),FWT(A_1))& ext{n>0}\
A& ext{n=0}
end{cases}$$

对于 xor 卷积：

$$FWT(A)=
egin{cases}
(FWT(A_0) + FWT(A_1),FWT(A_0) - FWT(A_1))& ext{n>0}\
A& ext{n=0}
end{cases}$$

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
namespace IO{
    const int BS=(1<<23)+5; int Top=0;
    char Buffer[BS],OT[BS],*OS=OT,*HD,*TL,SS[20]; const char *fin=OT+BS-1;
    char Getchar(){if(HD==TL){TL=(HD=Buffer)+fread(Buffer,1,BS,stdin);} return (HD==TL)?EOF:*HD++;}
    void flush(){fwrite(OT,1,OS-OT,stdout);}
    void Putchar(char c){*OS++ =c;if(OS==fin)flush(),OS=OT;}
    void write(int x){
        if(!x){Putchar('0');return;} if(x<0) x=-x,Putchar('-');
        while(x) SS[++Top]=x%10,x/=10;
        while(Top) Putchar(SS[Top]+'0'),--Top;
    }
    int read(){
        int nm=0,fh=1; char cw=Getchar();
        for(;!isdigit(cw);cw=Getchar()) if(cw=='-') fh=-fh;
        for(;isdigit(cw);cw=Getchar()) nm=nm*10+(cw-'0');
        return nm*fh;
    }
}
using namespace IO;
const int maxn = 200010,mod = 998244353,inv2 = 499122177;
int n,m,a[maxn],b[maxn];
inline int inc(int x,int y){x += y;if(x >= mod)x -= mod;return x;}
inline int dec(int x,int y){x -= y;if(x < 0)x += mod;return x;}
inline int skr(int x,int t)
{
    int res = 1;
    while(t)
    {
        if(t & 1)res = 1LL * res * x % mod;
        x = 1LL * x * x % mod;
        t = t >> 1; 
    }return res;
}
inline void fwt(int *a,int n,int t,int f)//1:or , 2:and , 3:xor
{
    for(int i=1;i<n;i<<=1)
    {
        for(int j=0,p=i<<1;j<n;j+=p)
        {
            for(int k=0;k<i;++k)
            {
                int x = a[j + k],y = a[i + j + k];
                if(t == 1)
                {
                    if(f == 1) a[i + j + k] = inc(x,y);
                    else a[i + j + k] = dec(y,x);
                }
                else if(t == 2)
                {
                    if(f == 1) a[j + k] = inc(x,y);
                    else a[j + k] = dec(x,y);
                }
                else if(t==3)
                {
                    if(f == 1) a[j + k] = inc(x,y),a[i + j + k]=dec(x,y);
                    else a[j + k] = 1LL * inc(x,y) * inv2 % mod,a[i + j + k] = 1LL * dec(x,y) * inv2 % mod;
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int t = read();n = read(),m = read();
    int l = max(n,m),L = 0,bs = 1;
    for(;bs < l;bs <<= 1)L++;
    for(int i=0;i<=n;i++)a[i] = read();
    for(int i=0;i<=m;i++)b[i] = read();
    fwt(a,bs,t,1);fwt(b,bs,t,1);
    for(int i=0;i<bs;i++)a[i] = 1LL * a[i] * b[i] % mod;
    fwt(a,bs,t,-1);
    for(int i=0;i<bs;i++)write(a[i]),Putchar(' ');
    flush();
}

WC2018 州区划分

有一个无向图，你要把它划分成 k 个州，要求每个州内不能存在欧拉回路，每个州的满意度是 $i$ 州的权值和除以前 $i$ 州的权值和 ，一个划分方案的满意度是所有州满意度的乘积，求所有划分方案满意度之和，膜 998244353

$n leq 21$

sol：

记 $sig_S=sumlimits_{i in S}w_i imes [州内没有欧拉回路]$

显然是一个子集 dp：

$f_{S} = frac{1}{sig_S}sumlimits_{Tsubseteq S}f_{T} imes sig_{S-T}$

然后发现这是一个子集卷积，一般是枚举一下集合大小，然后直接卷

HAOI2015 按位或

一开始你有一个数字 $0$ ，每秒你有 $P_i$ 的概率得到一个$in [0,2^n-1]$数字 $i$，与你现在的数字进行按位或，求期望多少秒能得到 $2^n-1$

$n leq 20$

sol：

先最值反演

然后就是对于每个子集 $T$ 要求 $E(min{T})$

发现只要有一位异或上了就可以了，那就是 $E(min{T}) = frac{1}{sumlimits_{s ∩ T eq emptyset}P_s}$

现在就是对于每个 $T$ 要求所有与 $T$ 有交的集合权值和

发现有交的不好求，没交的就是 $T$ 所有补集的子集，用 FWT 预处理子集和就行了

（其实不 FWT 也行，但这毕竟是一篇 FWT 博客