- 概述
- 相似，主要是相似三角形，在中考中有举足轻重的地位，难度也较高，往往倒三题中至少有一题是圆和相似的结合
- 相似常常和四边形、反比例函数、圆、二次函数等结合，十分灵活
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比例性质
- 概念
- 若$displaystyle frac{a}{b}=frac{c}{d}$，则称$a,b,c,d$成比例，$a,d$称为比例外项，$b,c$称为比例内项，其中$a,b,c,d$分别是第一、二、三、四比例项
- 在$displaystyle frac{a}{b}=frac{c}{d}$，即$b^2=ac$中，称$b$为$a,c$的比例中项
- 若$a,b,c,d$是线段，只能取正，否则可正可负
- 基本性质
- $displaystyle frac{a}{b}=frac{c}{d} leftrightarrow ad=bc$，由$ad=bc$可得①$displaystyle frac{a}{b}=frac{c}{d}$②$displaystyle frac{a}{c}=frac{b}{d}$③$displaystyle frac{d}{b}=frac{c}{a}$④$displaystyle frac{d}{c}=frac{b}{a}$
- 根据性质，常利用设$k$法来求某代数式的值
- 比例性质
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基本性质：$displaystyle frac{a}{b}=frac{c}{d}Leftrightarrow ad=bc(bd eq0)$
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反比定理：$displaystyle frac{a}{b}=frac{c}{d}Leftrightarrow frac{b}{a}=frac{d}{c}(abcd eq0)$
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更比定理：$displaystyle frac{a}{b}=frac{c}{d}Leftrightarrow frac{a}{c}=frac{b}{d},frac{d}{b}=frac{c}{a}(abcd eq0)$
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合比定理：$displaystyle frac{a}{b}=frac{c}{d}Leftrightarrow frac{a+b}{b}=frac{c+d}{d}$
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分比定理：$displaystyle frac{a}{b}=frac{c}{d}Leftrightarrow frac{a-b}{b}=frac{c-d}{d}$
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合分比定理：$displaystyle frac{a}{b}=frac{c}{d}Leftrightarrow frac{a+b}{a-b}=frac{c+d}{c-d}$
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等比定理：$displaystyle frac{a_1}{b_1}=frac{a_2}{b_2}=cdotcdotcdot=frac{a_n}{a_n}=k(Sigma^n_{i=1}b_i eq0)Rightarrow frac{Sigma_{i=1}^n{a_i}}{Sigma_{i=1}^n{b_i}}=k(Sigma^n_{i=1}b_i eq0)$（思想：等比设$k$）
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- 概念
- 比例尺
- 概念
- 比例尺=图距：实距 面积之比=（缩放倍数）2
- 结合三角函数考地理题（等高线地形图等等）
- 注意单位的转换
- 注意基准高度（基层的等高线）
- 概念
- 黄金分割
- 概念
- 定义
C在AB上，分线段为AC，BC（AC>BC）若$displaystyle frac{AC}{AB}=frac{BC}{AC}$（$displaystyle frac{长}{全}=frac{短}{长}$，即$AC^2=ABcdot BC$），则称AB被C黄金分割
- 任何线段都有两个黄金分割点
- 求黄金比：列方程即可
- 设AB=1，AC=x，由定义得$displaystyle frac{AC}{AB}=frac{BC}{AC}$……
- 尺规作图：构造$displaystyle sqrt{5}$
- 注：图中只画了一个黄金分割点，另一个需要再用圆规截取
- 注：图中只画了一个黄金分割点，另一个需要再用圆规截取
- 定义
- 概念
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平行线间线段成比例
- 若$l_1//l_2//l_3$，则$displaystyle frac{FB}{BC}=frac{AE}{ED}=frac{GH}{HM}$，$displaystyle frac{AE}{AD}=frac{FB}{FC}=frac{GH}{GM}$，$displaystyle frac{FB}{GH}=frac{BC}{HM}=frac{FC}{GM}$
- 证明
- 尺规作图
- 构造已知线段的比
- 现有长度为$a,b,1$的线段，求作长度为$frac{a}{b}$的线段
- 构造已知线段的比
- 若$l_1//l_2//l_3$，则$displaystyle frac{FB}{BC}=frac{AE}{ED}=frac{GH}{HM}$，$displaystyle frac{AE}{AD}=frac{FB}{FC}=frac{GH}{GM}$，$displaystyle frac{FB}{GH}=frac{BC}{HM}=frac{FC}{GM}$
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相似三角形的概念、性质和判定
- 概念：各角相等，各边成比例的三角形，对应边的比值叫做相似比。（可推广于任意边型）
- 判定
- 内容
- 两角对应相等的三角形相似
- 两边对应成比例且夹角相等的三角形相似
- 三边对应成比例的三角形相似
- 格式
- $∵angle E = angle A ， angle F = angle C$
$∴ riangle DEF ∽ riangle BAC$- 不需要写“在××中”，与全等不同
- 要注意严格的对应关系，在写条件的角和边的时候都要严格对应，与全等相同（我被扣了一年的分）
- $displaystyle ∵frac{BC}{EF}=frac{AC}{DF} , angle C=angle F$
$∴ riangle ABC ∽ riangle DEF$
- $∵angle E = angle A ， angle F = angle C$
- 解题
- 斜边和一条直角边对应成比例的2个直角三角形相似（不可用）
- 在说明直角三角形时，不仅要说明直角，还要写$Rt riangle$，且最后在写答案时一定要体现$Rt$
- 勾股定理中，要写$Rt riangle 中 angle = 90^{circ}$
- 在$HL$中，要写$在Rt riangle ABC 和 Rt riangle DEF中，angle ABC=angle DEF =90^{circ}$
- 在说明直角三角形时，不仅要说明直角，还要写$Rt riangle$，且最后在写答案时一定要体现$Rt$
- 注意对应边成比例，一个比例的分子和分母必须分在两个三角形中
- 斜边和一条直角边对应成比例的2个直角三角形相似（不可用）
- 内容
- 性质
- 内容
- 对应角相等
- 对应边成比例
- 周长比=对应高，角平分线的比=相似比
- 2,3两条总结为“对应线段成比例”
- 面积=相似比2
- 格式
- $∵ riangle ABC ∽ riangle DEF$
$displaystyle ∴angle ABC = angle DEF , frac{AB}{DE}=frac{BC}{EF}=frac{AC}{DF}$（严格的对应关系）
- $∵ riangle ABC ∽ riangle DEF$
- 内容
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基本模型
- “A”型
- 要求：平行且同侧（可以由平行直接得）
- 考题往往和面积与边长相关，这种相似三角形有明显的比例关系，两个三角形一般会有重合部分，可以对关键线段设未知数求解；
- 斜“A”型
- 要求：有一个公共角和一个等角
- 仅共角，有$displaystyle riangle ADE ∽ riangle ACB Rightarrow frac{AD}{AC}=frac{AE}{AB}$
- 共角共边，有$displaystyle riangle ADC ∽ riangle ACB Rightarrow frac{AD}{AC}=frac{AC}{AB} Rightarrow AC^2=AD·AB$
- 仅共角，有$displaystyle riangle ADE ∽ riangle ACB Rightarrow frac{AD}{AC}=frac{AE}{AB}$
- 要求：有一个公共角和一个等角
- “8”字形
- 由$DE//BC$或$angle B=angle D$得到$displaystyle riangle ADE= riangle ABCRightarrow frac{AD}{BC}=frac{AE}{AC}=frac{DE}{BC}$
- 由$DE//BC$或$angle B=angle D$得到$displaystyle riangle ADE= riangle ABCRightarrow frac{AD}{BC}=frac{AE}{AC}=frac{DE}{BC}$
- 旋转型相似
- 边成比例+夹角相等
- 注意：旋转型相似不会直接给出，常常隐含在其他的旋转关系中
- 边成比例+夹角相等
- “k”型相似（一线三等角）
- 显然有$ riangle BDE ∽△CEF$
- 特别地，在$BE=EC$使，有$△BDE∽△EDF∽△CEF$
- 显然有$ riangle BDE ∽△CEF$
- 垂直型相似
- 射影定理
- 三直角模型，属于三等角，比例关系显而易见
- 射影定理
- “A”型
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实际问题
- 主要是物理题，没什么难度
