算法分析中常用的几种渐进符号

在算法分析中，经常会遇到以下几种渐进符号

1. 渐近精确界记号：ΘΘ（big-theta）
2. 渐近上界记号 ：OO(big-oh)
3. 渐近下界记号 ：ΩΩ(big-omege)
4. 非渐近紧确上界：o(小-oh)
5. 非渐近紧确下界：ω(小-omege)

下面对渐进符号进行详解：

大写O符号
f(n)=O(g(n))，这里f(n)是分析出来算法的执行次数的函数，
O的定义:   当且仅当存在正的常数c和n0，使得对于所有的n>=n0，有f(n)<=cg(n)。
这里cg(n)就是函数f(n)的上限。讲到这是不是很迷糊，我刚开始也这样，不着急，看下面例子，你就会恍然大悟啦。

几种函数的例子:
1.线性函数
f(n)=3n+2，当n>=2时，3n+2<=3n+n=4n。

所以f(n)=O(n)，这里c = 4，n0 = 2，g(n) = n, 那么cg(n) 也就是4n 就是f(n) 的上界

2.平方函数
f(n)=2n^2+3n+3，当n>=3时，3n+3<=4n，当n>=4时，4n<n^2，f(n)=2n^2+n^2=3n^2。
f(n)=O(n^2)，这里c = 3，n0 = 4， g(n) = n^2 ,那么cg(n) 也就是3n^2 就是f(n) 的上界

3.指数函数
f(n)=6*2^n+n^2，当n>=4时，n^2<=2^n，所以当n>=4，有f(n)<=6*2^n+2^n=7*2^n。
这里c是7，n0=4，f(n)=O(2^n)。

4.常数阶
f(n)=9，这里就直接记为O(1)，c为9，n0为0就可以了，f(n)=9<=9*1。

Ω符号
定义：f(n)=Ω(g(n))，当且仅当存在正的常数c和n0，使得对于所有n>=n0，有f(n)>=cg(n)。
Ω符号是给函数的下限。
例子:
对于所有的n，有f(n)=3n+2>3n，所以f(n)=Ω(n)，这里c=3，n0=0。这里也可以这样f(n)=Ω(1)，

Θ符号
定义：对于存在大于0的常数c1、c2和非负的整数n0，以及足够大的n，对于所有的n≥n0来说，有c1g(n)<=f 
(n)<=c2g(n)。
例子：3n+2=Θ(n)，当c1=3,c2=4，n>=n0=2时，3n<=3n+2<=4n。

小写o符号
定义: f(n)=o(g(n))，当且仅当f(n)=O(g(n))  且f(n)!=Ω(g(n))。

渐近记号Θ、Ο、o、Ω、ω关系