行列式性质及计算

 行列式的性质：

1.规定行列式每一项的名称：第一行第一个为a11,第一行第二个为a12，第三个为a13....第二行第一个为a21,第三行第一个为a31....

行列式的转置，就是将每一项下标的行和列交换。或者说行列式每一行转为列，列转为行

行列式和它的转置行列式，值相等；

2.互换行列式任意两行/列，值会变号；

3. 行列式某一行/列都乘一个系数k，最后的值会乘k；

4. 行列式中有某两行/列成比例，那么行列式的值为0；

5. 行列式的某一行/列，每一项都拆成两项。那么行列式可以被拆成两个行列式之和，各自取一项，其他行/列不变。

6. 某行/列 乘k倍加到另一行/列，行列式值不变。

   这个性质有一个常见用法，对于一个高于三阶的行列式，直接计算比较麻烦，用第一行取消除其他行的第一个值，用第二行去消除以下行的第二个值。。。形成一个上三角行列式。上三角行列式的值等于对角线乘积，计算便捷。

一类较为特殊的行列式：列等和行列式

| a+x　　a　　a　　a|

| a　　a+x　　a　　a|

| a　　a　　a+x　　a|

| a　　a　　a　　a+x|

对于这种行列式，它每一行/列相加后，值相等。

将其他行/列全部加到第一行/列上，提取出来，第一行/列就全成了1，重新做成上三角行列式即可。

继续延申，

|2    0    0....0    0    2|

|-1   2    0....0    0    2|

|0    -1   2....0    0    2|

|......　　　　　　　.|

|0    0    0....-1    2    2|

|0    0    0....0    -1    2|

对于这种行列式，第一行乘1/2，加到第二行；再将第二行乘1/2，加到第三行。。。。每一行前面都可消除到上三角，最后一行则会变成2+1+....+ 1/2^(n-2) =2^n+1    -2

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余子式：n阶行列式中，a_ij 所在的第i行和第j列去掉，剩下的就是a_ij 的余子式。

|1　　2　　 3　     4|

|5　　6　 　7　　 8|

|9　   10　   11　 12|

|13     14      15     16|

用第一行展开，这个行列式的值就是1*|6    7    8|-2*|5     7    8|+3*|5    6    8|-  4*|5    6    7|

　　　　　　　　　　　　　　　　    |10 11 12|     |9   11  12|     |9  10  12|       |9  10  11|

  　　　　　　　　　　　　　　　　  |13 14 15|     |13 15 16|      |13 14 16|       |13  14 15|

代数余子式：(-1)^i+j 称为a_ij 的代数余子式，A_ij 

展开法则：行列式等于某行/列元素与其对应余子式乘积的和。

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克拉默法则。行列式解方程组常用

n个方程，n个未知数的线性方程组。

|a₁₁x₁+a₁₂x₂+.......+a_1nx_n=b₁

|a₂₁x₁+a₂₂x₂+.......+a_2nx_n=b₂

.......

|a_n1x₁+a_n2x₂+.......+a_nnx_n=b_n

令其系数行列式为D

这个方程组有唯一解，x₁=D₁/D    x₂=D₂/D ....   D_i是指将D的第i列换成常数列b

1. 若D为0，则方程组无解或解不唯一；反之方程组有唯一解。

2. 常数项b不全为0，称为非齐次线性方程组，反之为齐次。 

x₁+2x₂+x₃=0

x₁+x₂+x₃=0

x₁+2x₃=3       这样的方程组就是非齐次

   齐次方程组肯定有解，让所有x都为0就满足了。这个解又叫零解。

3. 对于一个齐次线性方程组，系数行列式D为0，有非零解；反之只有零解。

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方阵行列式：一个方阵矩阵的行列式。

性质：

|A|=|A^T|

|λA|=λⁿ|A|   

|AB|=|BA|=|A||B|

|A^m|=|A|^m